高中数学：不等式的解法 -凯发唯一官网

一、不等式的性质

1、两边同乘或同除一个数要注意它的正负。

2、同向可加但同向不可减。

3、取倒数要注意同号还是异号。也可以从右往左进行化简。

4、两不等式相乘必须给出两组数的正负。绝对值大的相乘与绝对值小的相乘可比较。

5、不等式等价转化的常见思路：移项。

6、乘方、开方要注意奇偶，也可以从右往左进行化简。

n为正奇时，

n为正偶时，

不等式的性质：

对称性：如果x>y，那么yy。

传递性：如果x>y，y>z，那么x>z。

加法单调性（同向不等式可加性）：如果x>y，z为任意实数或整式，那么x z>y z。

乘法单调性：如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz

正值不等式可乘方：如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）。

正值不等式可开方：如果x>y>0，那么x的n次方根>y的n次方根（n为正数）。

倒数法则：如果x>y>0，那么1/x<1/y；如果0>x>y，那么1/x>1/y。

二、解不等式

1、二次不等式

二次项系数为正时，如果有两个不相等的根：大于0、大于等于0是两根之外，小于0、小于等于0是两根之间；没有根或者相等根的情况，根据图像判断。

二次项系数为负时，如果有两个不相等的根：大于0、大于等于0是两根之间，小于0、小于等于0是两根之外；没有根或者相等根的情况，根据图像判断。

2、高次不等式

最高次系数为正时，从右上开始穿，奇穿偶不穿。

最高次系数为负时，从右下开始穿，奇穿偶不穿。

3、分式不等式

分母恒正或恒负时，乘过去。如

分母正负不定时，用公式法。

4、绝对值不等式

符合以下三种形式时，用公式法。

其他问题正负讨论去绝对值。

若已知绝对值符号内的表达式的值的正负情况，当表达式的值大于等于 0 时，直接去掉绝对值符号即可；当表达式的值小于 0 时，去掉绝对值符号后要在表达式前加上负号。

5、指数、对数不等式

指数不等式：当底数大于 1 时，指数函数单调递增。例如对于不等式a^x>a^y（a>1），则可得x>y；当底数大于 0 小于 1 时，指数函数单调递减，对于不等式a^x>a^y（0

对数不等式：对于对数不等式log_ax>log_ay（a>1），当x>0，y>0时，可得x>y；当0

还要注意对数的定义域，即真数必须大于 0。例如解不等式log₂(x-1)>1，先将 1 化为log₂2，则可得log₂(x-1)>log₂2，因为底数 2 大于 1，且x-1>0，所以x-1>2，即x>3。

以下是一道高次不等式经典例题：