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高中数学：圆锥曲线 - 椭圆

一、相关概念

以焦点在x轴上为例，具体如下图：

1.焦点：f₁，f₂

2.顶点：a₁，a₂，b₁，b₂

3.轴长：长轴长=2a=|a₁a₂|，短轴长=2b=|b₁b₂|，焦距=2c=|f₁f₂|

4.焦半径：|p₁f₁|、|p₁f₂|

5.焦点弦：左焦点弦|p₁p₂|

6.准线方程：右准线方程

二、椭圆第一定义、第二定义

1.椭圆第一定义：

平面内与两定点f1、f2 的距离的和等于常数 （大于|f1f2| ）的动点p的轨迹叫做椭圆。即：|pf1| |pf2|=2a（2a>|f1f2|）

2.椭圆第二定义：

椭圆平面内到定点f（c，0）的距离和到定直线l： （f不在l上）的距离之比为常数 （即离心率e ，0

三、相关结论

以焦点在x轴时进行讨论

椭圆方程：

图像如下：

1.离心率：e=(0

2.焦半径：|pf₁|=a ex₀,|pf₂|=a-ex₀

左焦半径证明如下：

设p₁坐标为（x₀,y₀)

|p₁f₁|/|p₁q₁|=e

|p₁f₁|=e*|p₁q₁|=c/a*(x₀ c/a²)=a ex₀

右焦半径证明方法同上。

3.焦点弦：左焦点弦|p₁p₂|=2a e(x₁ x₂)

左焦点弦证明如下：

设p₁坐标为（x₁,y₁)、p₂坐标为（x₂,y₂)

根据上面焦点半径证明可知：

|p₁f₁|=a ex₁，|p₂f₁|=a ex₂

所以|p₁f₁| |p₂f₁|=2a e(x₁ x₂)

右焦点弦证明方法同上。

4.准线方程：x=-a²/c，x=a²/c

5.切线方程：经过p(x₀,y₀)的切线方程为

点p(x₀,y₀)在椭圆上，

则过点p椭圆的切线方程为

证明：

椭圆为

,切点为p(x₀,y₀),则(1)

对椭圆求导得

, 即切线斜率

,故切线方程是

,将(1)代入并化简得切线方程为