初中数学：隐圆最值问题 -凯发唯一官网

初中数学：隐圆最值问题

在中考数学中，有一类高频率考题，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

在考察“隐圆”的时候，题目当中往往会在“隐圆”的基础之上去考察各种最值问题，如：线段最值、周长最值、面积最值、角的最值等。

根据圆的定义，在解决几何问题中，只要观察出几个点到同一个定点的距离相等，这里就常常隐藏一个圆就是＂隐圆＂。

首先让我们了解下最值问题，主要用到以下几个几何性质：

1.三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

2.两点间线段最短；

3.连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

4.定圆中的所有弦中，直径最长。

“隐圆”主要涉及如下几类最值问题：

一、圆外（内）一点与圆上一点距离最值

1.p为圆o外一定点，则点p与圆心o距离为定值，那么p点与圆上各点的连接线段中，最小值为下图1中pa，最大值为下图2中pa.

2.p为圆o内一定点，则点p与圆上各点的连接线段中，最小值为下图1中pa，最大值为下图2中pa.

3.p为圆上一定点，其到圆上其它各点的连接线段中，最大值为直径，最小值为0.

二、定点定长模型

1.ao=bo=co=do

2.若ab=ac=ad，则b、c、d三点是以a点为圆心、ab长为半径的圆上。

三、定弦定角模型

1.同弧（同弦）所对圆周角相等

2.定弦对定角（锐角）

3.定弦对定角（钝角）

4.“定角对定高模型”——线段最值；

在三角形中，如果这个三角形的一个角确定，由这个角的顶点向对边引的垂线即高也确定，则此时这个角的顶点所对应的变有最小值。

如下图，直线bc外一点a，a到直线bc距离ad为定值（定高），∠bac为定角。则bc有最小值。

通过连接bo,bc=2bh,bh=bo*sin∠boh，bc=2*bo*sin∠boh要想bc最小，那么就是半径要最小。

简证:oa oh≥ad,

∵四边形oedh为矩形,∴oh=ed,

在rt△aoe中,ao>ae,∴ao oh=ao ed>ae ed=ad

定角定高模型：构成等腰三角形（ac＝bc）时：

（1）ab线段长度最小；（2）△abc面积最小；（3）△abc周长最小。

5.“定角对定边模型”——面积最值

在三角形中，如果这个三角形的一个角确定，由这个角的顶点向对边引的垂线即高也确定，则此时这个三角形面积会存在最小值。

如下图，直线bc外一点a，a到直线bc距离ad为定值（定高），∠bac为定角。则bc有最小值。δabc的面积由bc决定，bc有最小值，所以δabc的面积有最小值。像探照灯一样所以也叫探照灯模型。这就是“隐形圆”中重要的定角定高模型，定角定高模型主要解决面积最小问题。

定角定高问题常应用于求此三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径 弦心距定高”求出半径的最小值，那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解。

那么，如图确定△abc面积的最小值呢?

首先我们连接oa,ob,oc。过o点作oh⊥bc于h点.(如上图)

显然oa oh≥ad,当且仅当a,o,d三点共线时取“=”。由于∠bac的大小是一个定值,而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角∠aob的度数，也是一个定值。

因此oh和圆o的半径，有一个固定关系，所以，oa oh 也和⊙o的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，oa oh≥ad，就可以求得圆o半径的最小值。

简证:oa oh≥ad,

∵四边形oedh为矩形,∴oh=ed,

在rt△aoe中,ao>ae,∴ao oh=ao ed>ae ed=ad

6.“定角对定边模型”——周长最值

四、直角圆周角模型

直角所对的是直径

五、四点共圆模型

对角互补

六、隐形圆结合瓜豆原理

瓜豆原理是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜,从动点叫做豆,瓜在直线上运动,豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动,豆的运动轨迹也是圆。

瓜豆原理具体可以查看后面链接：https://www.yc8.com.cn/wenzhang/202210/1068.html

下面我们仅从瓜豆原理分析动点运动轨迹

七、“米勒”最大张角问题

米勒最大张角问题相关问题可以查看后面链接：