初中数学：反比例函数面积、最值等模型 -凯发唯一官网

初中数学：反比例函数面积、最值等模型

一、面积k模型定义

反比例函数 y=k/x (k≠0) 中比例系数的几何意义：

在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，

反比例函数上一点向x、y轴分别作垂线，分别交于x轴和y轴，则qowm的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接om，则rt△omq的面积=½|k|。

具体反比例函数图像与性质详见：

二、相关模型

（一）反比例函数图像上的坐标矩形与坐标三角形的面积

1.如图1，若反比例函数解析式为y=x/k，则；s_矩形obac=|k|；

2.如图2，若反比例函数解析式为y=x/k，则；s_△oab=1/2·|k|。

、

上面2个证明较为简单，这里就不具体阐述。

（二）反比例函数中的三角形与等积梯形

1.如图3，若反比例函数解析式为y=k/x，则；s_△oab=s_梯形bcda；

2.如图4，若反比例函数解析式为y=k/x，则（1）s_△oab=s_梯形cdea；（2） cd2=eb·ea；

结论证明如下：

1.易知s_△boc=s_△aod=1/2·|k|

∴s_△bom=s_梯形adcm，

∴s_△bom s_△abm=s_梯形adcm s_△abm，即s_△aob=s_梯形bcda；

2.易知s_△cod=s_△boe=1/2·|k|，∴s_△com=s_梯形bedm，则

（1）s_△com s_{△梯形abmc}=s_梯形bedm s_梯形abmc，即s_△aob=s_梯形acde；

（2）易知cd·od=be·oe，∴be:cd=od:oe=cd:ae，即cd2=eb·ea。

（三）过双曲线上两点的矩形或直角三角形

如图5：

1.s_△oap=s_△opb=1/2(s_矩形ocpd-|k|）；

2.（1）pb：bd=pa：ac；（2）ab∥cd；

结论证明如下：

1、∵矩形pcod∴△pco≌△pdo，则s_△pco=s_△pdo，由（一）知，s_△aco=s_△bdo=1/2·|k|，∴s_△oap=s_△opb=1/2(s矩形ocpd-|k|）；

2、∵s_△aco=s_△bdo，s_△oap=s_△obp，∴pb·od=pa·oc，bd·od=ac·oc；∴pb：pa=ac：bd=oc:ad，则pb:bd=pa:ac，∴ab∥cd；

（四）同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线

1.如图6，过反比例函数y=k/x上两点a、b，分别作坐标轴的垂线 ，垂足为c、d，则ab∥cd；

2.如图7，过反比例函数y=k/x图像上的点a、b分别向两条坐标轴作垂线，垂足分别为e、f、c、d，则ab∥cd∥ef；

结论证明如下：

对于1中的结论，可以仿照图5中2的证法。也可以在图7中，一次性予以证明。我们从证明中可以体会到“面积法”的神奇作用。

如图8，连接af、be、ac、bd，则s_△adc=s_△bcd=1/2·|k|，∴ad·cm=bc·dm，即ad:dm=bc:cm，则ab∥cd；且易知∴s_△bef=s_△aef=1/2·|k|，根据等底等高的三角形面积相等，则△bef和△aefef边上的高相等，则ab∥ef。∴ab∥cd∥ef。

（五）一次函数被反比例函数所截得到的等线段

1.如图9，若一次函数y=k₁x b与反比例函数y=k₂/x交于点a、b，与坐标轴交于点c、d，则ac=bd；

2.如图10，若一次函数y=k₁x b与反比例函数y=k₂/x交于点a、b，与坐标轴交于c、d，则ac=bd；

结论证明如下：

如图11、图12，分别过点a、b作am⊥y轴于点m，bn⊥x轴于点n，连接mn。运用面积法，仿照如图8中的证明方法，易证明mn∥ab，

则易证明四边形bdmn和四边形acnm是平行四边形，

∴在图11中，ac=mn=bd。

在图12中，am=nc，dm=bn，则易证△adm≌△cbn，则ad=bc。

（六）关于反比例函数面积问题的一个最值问题

如图18，点p为反比例函数y=k/x的图像上一动点，经过点p作x、y轴的垂线pc、pd，当四边形pdoc为正方形时，周长最小；

这个结论的证明，要用到一个不等式：a b≥2√a·√b（基本不等式，点击后面链接查看，https://www.yc8.com.cn/wenzhang/202305/2836.html）。

我们知道，反比例函数图像上任意一点，向坐标轴“做双垂”构成的坐标矩形的面积为定值|k|。

我们不妨设这个坐标矩形的长为a，宽为b，即a·b=|k|.根据a b≥2√a·√b，即a b≥2√k|，当且仅当a=b时，取等号，∴当且仅当a=b是，a b最小，即当矩形为正方形时，周长最小！